Fatiamento para calcular Integrais Triplas em paralelepípedos ( Fubini )

Teorema de Fubini e Integrais Triplas


Já vimos que o fatiamento é uma forma de calcular Volumes ou de calcular Integrais Duplas (Seção Teorema de Fubini e Integrais Duplas Iteradas)
Agora vamos estender a mesma idéia de fatiamentos para calcular Integrais Triplas.

A definição de Integral Tripla foi feita na Seção Volume de regiões do Espaço e Integrais Triplas. Uma explicação do formato que as Integrais Triplas assumem nos sistemas de coordenadas cilíndrico e esférico foi dada na Seção Fórmula de Substituição em Integrais Duplas e Triplas.
No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais $(x,y,z)$, a região espacial mais básica é o paralelepípedo reto. A Interação a seguir mostra paralelepípedos retos. Como a Seção lida com sistemas cilíndricos e esféricos, as Interações seguintes mostram regiões simples, análogas dos paralelelepípedos retos

Paralelepípedos retos:

Análogos cilíndricos:

Análogos esféricos:

A demonstração do Teorema a seguir pertence a Cursos de Análise Matemática, como a Referência Lima (abaixo):
Afirmação 1 (Teorema de Fubini para Integrais Triplas) Seja $f(x,y,z)$ função contínua definida no paralelepípedo reto $R$ dado por \[\begin{cases} x_0 \leq x \leq x_1\\y_0 \leq y \leq y_1\\ z_0 \leq z \leq z_1\end{cases}\]Então \[{\iiint }_{R} \, f(x,y,z) \, dV = {\iiint }_{R} \, f(x,y,z) \, dx\,dy\,dz = \]\[= \int_{z_0}^{z_1} ( \int_{y_0}^{y_1} \, ( \int_{x_0}^{x_1} \, f(x,y,z) \, dx ) \, dy ) \, dz, \]ou em qualquer outra ordem em que se fizer as três integrações.


Para entender a técnica fornecida pelo Teorema de Fubini, começamos pensando que \[y= \underline{y}\quad\mbox{e}\quad z= \underline{z}\]estão fixados e calculamos a integral "mais de dentro" em $x$: \[\int_{x_0}^{x_1} \, f(x,\underline{y},\underline{z}) \, dx =: H(\underline{y},\underline{z}), \]que em geral é uma função de $y$ e $z$. Agora recomeçamos pensando que \[z= \underline{z}\] está fixado e calculamos integral em $y$:\[\int_{y_0}^{y_1} H(y , \underline{z}) \, dy := G(\underline{z})\]Finalmente calculamos a integral em $z$, que resulta um número:\[\int_{z_0}^{z_1}\, G(z)\, dz \in \mathbb{R}\]
A partir do próximo parágrafo, teremos Interações que calculam as integrais triplas iteradas em regiões mais gerais que os paralelepípedos (em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas).