Passagem entre o contínuo e o discreto

Introdução às Sequências e Séries Infinitas


A noção intuitiva de sequência infinita de números aparece quando usamos aproximações de números importantes, como $\sqrt{2}$:\[ \sqrt{2} \sim 1.4,\quad \sqrt{2} \sim 1.41,\quad \sqrt{2}\sim 1.414,\]\[\sqrt{2} \sim 1.4142,\quad \sqrt{2} \sim 1.41421,\ldots\]
Os três pontinhos indicam um processo de aproximação que não termina nunca:
Definição: Uma sequência infinita de números é uma regra que associa a cada $n\in \mathbb{N}$ um número $x_n\in \mathbb{R}$.

O exemplo destaca que uma sequência de números Racionais pode estar se aproximando de um número Irracional. De fato:
Afirmação 1: As sequências infinitas de números Racionais podem ser a base da construção lógica do sistema de números Reais.

Esse é o ponto de vista fundacional dos Cursos de Análise Matemática (ver referências Lima ou Spivak, no final da Seção).
Mas não podemos ignorar que já temos à disposição todos os resultados dos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral em uma variável.
Por isso, no estudo inicial desta Seção usaremos o seguinte:
Princípio Prático (Passagem entre discreto e contínuo): Se tivermos uma sequência de números $(x_n)$ dada por uma regra explícita \[x_n =f(n)\] e se for possível considerar a função \[y=f(x),\quad x\in [1,+\infty),\] tentaremos usar as técnicas do Cálculo Diferencial e Integral na função $f(x)$ e depois retornar à sequência \[x_n =f(n)\]

Como uma sequência $(x_n)$ é uma regra (uma função) que associa $n\mapsto x_n$, faz sentido considerar o gráfico
\[\{(n , x_n);\, n\in \mathbb{N}\}\]
Interações desta Seção que mostram vários desses pontos serão muito úteis para intuir se a sequência tem ou não um limite

O importante caso em que a sequência não está dada em forma fechada $x_n= f(n)$ é estudado na Seção Sequências numéricas definidas recursivamente.