Para entender números importantes, comprimentos e volumes

Motivações para o Cálculo Integral em mais variáveis e Séries



Qual a teoria na base das aproximações que as calculadoras fazem de números importantes como $e$, $\pi$, $\ln(2)$, e outros ?
Que conceitos são importantes para podermos usar com precisão curvas ou regiões espaciais variadas em projetos de Engenharia e Arquitetura ?

Esses são alguns resultados do Curso Cálculo Integral em mais variáveis e Séries que iniciamos agora.
No Ensino Médio nos disseram que o comprimento de um círculo de raio $r$ vale $2\, \pi \cdot r$. Essa informação só tem valor se tivermos informação sobre o número $\pi$.
Arquimedes (ca. 212 A.C.) produziu aproximações do valor de $\pi$, por exemplo, as primeiras são:
\[\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7} \]
Mas a questão é:
Como expressar o valor de $\pi$ de modo exato ?

Leibniz (1646-1716) apresentou a seguinte expressão
\[ \pi = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \ldots\]
De certa forma é uma expressão simples, pois os denominadores são os números ímpares. Mas chamam a atenção os três pontinhos. Eles representam um processo infinito de somas, ou uma série infinita.

As séries infinitas são um dos temas deste Curso. Além disso, coloca-se uma questão mais geral:
Como medir o comprimento de um gráfico ou de uma curva ? No caso de uma elipse, o número $\pi$ é substituído pelo quê ?

Acionando a tecla Interação vemos um pouco do método (que remonta a Arquimedes, mas desenvolvido no Cálculo Integral) de aproximar o comprimento exato de uma elipse pelo comprimento de poligonais:

Outro tema importante deste Curso é determinar volumes de regiões espaciais diversas, muito mais gerais que os poliedros ou sólidos abordados no Ensino Médio.
Volumes exatos e posições exatas de baricentros se expressam como Integrais duplas ou triplas, conceitos centrais deste Curso.
A Interação a seguir mostra a idéia de aproximar o volume exato de uma região espacial - com forma de bola de futebol americano - através de paralelepípedos cada vez menores e em maior número:

Bons estudos e experimentos com regiões espaciais !