Informação na fronteira que repecurte no interior

Teorema de Green, Áreas e caracterização dos Campos Conservativos do plano


Nesta Seção veremos que há uma surpreendente conexão entre a informação no interior de uma região do plano e a informação apenas na fronteira da região, uma curva plana.
Como algo que acontece a bilhões de kilômetros de distância pode influenciar algo que acontece aqui ?

Vamos exemplificar essa interdependência em dimensão 1. Suponha um intervalo $[a,b]$ de comprimento 1 bilhão de quilômetros. Então a informação na fronteira formada por apenas dois pontos $\{a , b\}$,
\[f(b) - f(a),\]

determina a integral no intervalo interior $(a,b)$:
\[\int_{a}^b \,f^{\prime}(x)\, dx\quad \mbox{!}\]

Pois, segundo o Teorema Fundamental do Cálculo,
\[f(b) - f(a) = \int_{a}^b \,f^{\prime}(x)\, dx\]
Veremos nesta Seção que a área da região bidimensional no interior de uma curva está determinada pelo trabalho de um campo vetorial bem particular ao longo apenas da curva. Também veremos que o trabalho de um campo vetorial ao longo de curvas fechadas está relacionado ao fato de existir ou não um potencial para o campo vetorial.

O Teorema central desta Seção - Teorema de Green - é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo. E, à sua vez, tem várias generalizações importantes para superfícies curvadas ou para regiões de dimensão três.
O Teorema de Green e suas generalizações têm uma gama enorme de aplicações na Física-Matemática !

Essas versões mais gerais serão tratadas no Curso (mais avançado) Cálculo Vetorial Integral e Aplicações.