Aproximações polinomiais de Taylor e Maclaurin
Polinômios e séries de Taylor em uma variável
Muitas funções importantes, criadas no Cálculo ou através de Equações Diferenciais, não são polinomiais.
Por outro lado, os polinômios são facilmente implementados no Computador, por isso surge a idéia natural de aproximar o valor de uma função por um polinômio, mesmo que de grau alto.
Se $f(x)$ é uma função que tem derivada $f^{\prime}(x_0)$ definida em $x_0$, podemos dar como
aproximação linear (de grau 1) em torno de $x=x_0$:
\[p_1(x) := f(x_0)+ f^{\prime}(x_0)\cdot (x - x_0)\]
Esse primeiro tipo aproximação (bem como uma aproximação
quadrática) foi estudado na Seção
Aproximações e Taxas Relacionadas do Curso de
Cálculo Diferencial em uma variável.
Generalizando essa idéia, vamos dar agora aproximações
polinomiais gerais:
Definição (Polinômios de
Taylor): Dada uma função $y=f(x)$ com derivadas de todas as ordens, o
polinômio de Taylor de $f$
de grau $n$
no ponto $x_0$ é dado por:\[{\scriptsize p_{n,f,x_0}(x) := f(x_0)+ f^{\prime}(x_0)\cdot (x-x_0) + \frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2 !}\cdot (x-x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n !}\cdot (x-x_0)^n}\]
Observação: Note os fatoriais $n!$ em cada coeficiente e nos exercícios não esqueça deles.
Observação: Quando o ponto escolhido é $x_0=0$, costuma-se chamar o polinômio de Taylor de polinômio de
Maclaurin.
No prágrafo a seguir veremos exemplos e Interações que determinam polinômios de Taylor.
