Aproximações polinomiais de Taylor e Maclaurin

Polinômios e séries de Taylor em uma variável



Muitas funções importantes, criadas no Cálculo ou através de Equações Diferenciais, não são polinomiais.
Por outro lado, os polinômios são facilmente implementados no Computador, por isso surge a idéia natural de aproximar o valor de uma função por um polinômio, mesmo que de grau alto.
Se $f(x)$ é uma função que tem derivada $f^{\prime}(x_0)$ definida em $x_0$, podemos dar como aproximação linear (de grau 1) em torno de $x=x_0$:
\[p_1(x) := f(x_0)+ f^{\prime}(x_0)\cdot (x - x_0)\]

Esse primeiro tipo aproximação (bem como uma aproximação quadrática) foi estudado na Seção Aproximações e Taxas Relacionadas do Curso de Cálculo Diferencial em uma variável.
Generalizando essa idéia, vamos dar agora aproximações polinomiais gerais:
Definição (Polinômios de Taylor): Dada uma função $y=f(x)$ com derivadas de todas as ordens, o polinômio de Taylor de $f$ de grau $n$ no ponto $x_0$ é dado por:\[{\scriptsize p_{n,f,x_0}(x) := f(x_0)+ f^{\prime}(x_0)\cdot (x-x_0) + \frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2 !}\cdot (x-x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n !}\cdot (x-x_0)^n}\]

Observação: Note os fatoriais $n!$ em cada coeficiente e nos exercícios não esqueça deles.

Observação: Quando o ponto escolhido é $x_0=0$, costuma-se chamar o polinômio de Taylor de polinômio de Maclaurin.

No prágrafo a seguir veremos exemplos e Interações que determinam polinômios de Taylor.