As séries de potências como fábricas de séries numéricas

Raio e Intervalo de Convergência de Séries de Potências



Até agora tratamos de séries infinitas numéricas, ou seja, somas do tipo
\[\sum_{n=0}^{+\infty } x_n\, \mbox{ou}\, \sum_{n= n_0}^{+\infty } x_n, \]
onde cada $x_n\in \mathbb{R}$ é um número(por exemplo, na Seção Séries infinitas, Geométrica, Alternada e Testes de Convergência)
Como vimos, nem sempre as séries infinitas convergem, ou seja, nem sempre as somas se aproximam cada vez mais de um número bem definido.
Agora vamos tratar de expressões que produzem séries numéricas para cada escolha de $x$:
Definição: Chamamos de séries de potências Naturais as expressões do tipo
\[{\small \sum_{n=0}^{+\infty } a_n\cdot (x-x_0)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 +\ldots} \]
onde
\[x_0\in \mathbb{R},\quad a_n\in \mathbb{R}\]

Observação: Séries de potências generalizam a noção de polinômio. Sempre podemos considerar um polinômio de grau $N$ como uma série de potências para a qual se anulam os coeficientes \[a_n = 0 ,\quad \forall n > N\]

Essa observação será útil na Seção Pontos regulares de equações diferenciais e soluções por séries de potências do Curso de Equações Diferenciais.

Para cada escolha de valor \[x=\underline{x}\] a série de potências produz uma série numérica:
\[\sum_{n=0}^{+\infty } a_n\cdot (\underline{x}-x_0)^n\]
A única escolha para a qual o valor da série é imediato é
\[\underline{x} = x_0\]

A pergunta natural é:
Questão: Para quais escolhas de $\underline{x} \neq x_0$ torna-se convergente a série numérica
\[\sum_{n=0}^{+\infty } a_n\cdot (\underline{x}-x_0)^n \quad \mbox{?}\]

Justificaremos nos parágrafos a seguir que:
A convergência de uma série de potências não acontece em pontos dispersos, aqui e acolá. A convergência se dá sempre em intervalos, que podem se reduzir a 1 ponto (comprimento zero), podem ter comprimento finito ou podem ser toda a reta dos Reais $\mathbb{R}$.