Sequências numericas recursivas e seus Limites

Sequências numéricas definidas recursivamente


Se uma sequência infinita de números $(x_n)$ vem dada por uma regra explícita\[ x_n = f(n),\]podemos tentar aplicar nossos conhecimentos de Cálculo Diferencial à função $y=f(x)$, como na Seção Introdução às Sequências e Séries Infinitas.
Mas nem sempre uma sequência infinita de números vem dada nessa forma explícita (ou "fechada") \[x_n = f(n)\]

Mesmo assim faz sentido perguntar se a sequência tem ou não um limite\[\lim_{n\to +\infty} \, x_n\]

Um situação muito importante é quando a sequência vem dada em forma recursiva, ou seja, quando a sequência começa com algum(uns) valor(es) dado(s) e vamos produzindo termo a termo a sequência, a partir das etapas anteriores. Em outras palavras:
Apesar de não termos uma expressão fechada $x_n = f(n)$, temos uma relação do tipo \[x_{n+1} = f(x_n),\quad n\in \mathbb{N}\]
entre cada termo e seu sucessor.


A sequência recursiva a seguir é das mais importantes (a vimos na Seção O Método de Newton para aproximar raízes do Curso de Cálculo Diferencial em uma variável):
Afirmação (Sequência de Newton): Considere números $a>0$ e $\underline{x}>0$ e a sequência dada em forma recursiva por\[\begin{cases} x_1 = \underline{x}\\x_{n+1} = \frac{1}{2}\cdot ( x_n + \frac{a}{x_n} ) \end{cases}\]Se existe o limite $L = \lim_{n \to +\infty} \,x_n$ e se $L>0$, então \[L=\sqrt{a}\]


Como a sequência de Newton não vem dada em forma explícita \[x_n= f(n)\] não podemos usar as Interações da Seção que apresentam parte de seu gráfico (ou calculavam o limite).
Mas há outro expediente para visualizar o comportamento da sequência, chamado de Método da Diagonal. Nos parágrafos seguintes temos Interações que implementam esse método e Exemplos, que incluem a sequência de Newton.