Sequências recursivas de segunda ordem

Sequências recursivas de segunda ordem, Fibonacci e Razão Áurea


Na Seção anterior Sequências numéricas definidas recursivamente, tratamos de sequências de números onde a etapa seguinte depende de uma etapa anterior que já tenha sido realizada:
\[x_{n+1} = f(x_n)\]

Um dos exemplos mais importantes desse tipo de sequência é a chamada sequência de Newton:\[x_{n+1} = \frac{1}{2}\,(x_n + \frac{2}{x_n}) \]
Agora nesta Seção vamos tratar das chamadas sequências recursivas de segunda ordem, onde a etapa seguinte depende de duas etapas anteriores que já tenham sido realizadas:
\[ x_{n+1} = f(x_n , x_{n-1})\]

A Interação a seguir permite computar os termos $x_n$ de sequências recursivas de segunda ordem e visualizar os gráficos de pontos $(n , x_n)$. No exemplo default\[\begin{cases} x_0 = 3,\quad x_1 = 1\\ x_{n+1} = 3 \, x_n - 4\, x_{n-1} \quad \forall n\geq 1\end{cases} \]

Alerta: Dependendo da expressão $f(x,y)$ e do número $N$, haveria muita lentidão na obtenção dos iterados. Por isso um dos temas desta Seção será como acelerar esse processo.

Um exemplo simples, mas muito importante, é o da sequência de Fibonacci, que veremos no parágrafo a seguir.