Como tratar a raiz de uma soma

A série infinita binomial



Quando ainda somos muito inexperientes, tentamos relacionar a raiz quadrada de uma soma \[\sqrt{a+b}\] com as raízes
\[\sqrt{a}\quad \mbox{e}\quad \sqrt{b}\]
e raramente temos sucesso.
No Curso de Cálculo Integral em uma variável, quando precisávamos calcular uma integral como
\[\int \sqrt{x+5}\,dx,\]
fazíamos uma substituição \[u = x + 5\] para eliminar a soma de dentro da raiz:
\[ \int \sqrt{x+5}\,dx = \int \sqrt{u}\, du \]
Aqui nesta Seção veremos como é bonita e sofisticada a expressão da raiz quadrada de uma soma:
Objetivo: Estender a fórmula do binômio usual $(a+b)^n$ (onde $n\in \mathbb{N}$) para expoentes fracionários, como
\[(a+b)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a+b},\]
ou Reais, como
\[(a+b)^{\sqrt{2}}\]