Fundamentos da teoria de somas infinitas (séries)

Séries infinitas, Geométrica, Alternada e Testes de Convergência


Em diversas situações concretas aparece a chamada:
Soma geométrica finita
\[1 + r + r^2 + \ldots + r^n,\]
onde o número $r\in \mathbb{R}$ é chamado de razão dessa soma geométrica.

O motivo é que $r$ é o quociente (razão) de cada parcela da soma pela parcela anterior:\[r = \frac{r}{1},\quad r = \frac{r^2}{r},\quad r = \frac{r^3}{r},\ldots\]
Uma soma infinita muito importante é a chamada série infinita geométrica de razão $r$:\[\sum_{n=0}^{+\infty} r^n = 1 + r + r^2 + r^n + \ldots\]

Esses são apenas dois exemplos da idéia de somar um certo número de parcelas (numéricas ou simbólicas) ou de estender indefinidamente o processo de soma.
Questão: O processo de somar indefinidamente produz a aproximação de um valor definido ? Ou simplesmente produz valores cada vez maiores ? Por exemplo, como entender esse processo nas quatro séries a seguir:
\[\begin{cases} 1 + 2 + 3 + \ldots = \sum_{n=1}^{+\infty} n\\ \\1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3 } + \ldots = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\\ \\ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3 } - \ldots = \sum_{n=1}^{+\infty} \, \frac{(-1)^{n+1}}{n}\\ \\ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9 } + \ldots = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \end{cases}\]

Nos parágrafos seguintes, desenvolveremos as principais noções envolvidas na teoria de séries infinitas, com diversos exemplos.

Apresentaremos Interações que plotam gráficos de somas parciais; Interações que calculam somas finitas (numéricas e simbólicas) e inclusive somas infinitas; Interações com alguns dos chamados Testes de Convergência.