Mudanças de variáveis em Integrais Duplas e Triplas

Fórmula de Substituição em Integrais Duplas e Triplas


No Curso Cálculo Integral em uma variável vimos que as mudanças de variáveis \[u = g(x) \]podem simplificar enormemente as integrais \[ \int_c^d \, f(u) \, du\]
Mas vimos que não basta mudar o integrando \[f(u) = f(u(x)), \]pois também é preciso adequar os limites de integração e as diferenciais\[du = g^{\prime}(x) \, dx\]Essas três adequações eram sintetizadas do seguinte modo:
Afirmação 1 (Regra de Substituição em uma variável) : \[ \int_{g(a)}^{g(b)} \, f(u)\, du = \int_a^b f( g(x) ) \cdot g^{\prime}(x) \, dx \]

Nesta Seção estamos interessados em mudanças de variáveis no plano\[ (u , v ) = (g_1(x,y)\,,\, g_2(x,y) )\]ou no espaço\[ (u , v , w ) = (g_1(x,y,z)\,,\, g_2(x,y,z) \,,\, g_3(x,y,z) ) \]e seus efeitos nas Integrais Duplas e Triplas (definidas nas Seções Área de regiões do plano, Integral dupla e Volume sob um gráfico e Volume de regiões do Espaço e Integrais Triplas).
Podemos pensar em \[(u,v) = G(x,y) = (g_1(x,y)\,,\, g_2(x,y) ) \quad \mbox{ou}\]
\[{\small (u,v,w) = G(x,y,z) = (g_1(x,y,z)\,,\, g_2(x,y,z) \,,\, g_3(x,y,z) )}\]
como deformações de regiões planas espaciais. Queremos entender como essas deformações afetam Áreas ou Volumes de regiões.

Precisaremos entender às Integrais Duplas e Triplas as três adequações de antes. Além da mudança de variável, por exemplo, \[(u , v ) = G(x,y) = (g_1(x,y)\,,\, g_2(x,y) )\] e na mudança do domínio $ U = G(V)$, precisamos adaptar a noção de derivada para $G(x,y)$
Introduziremos noção de determinante Jacobiano de $(u,v) =G(x,y)$, denotado $ \frac{\partial (u,v) }{ \partial (x,y) } $ e mostraremos como generalizar a diferencial $g^{\prime}(x)\, dx$ em\[ | \frac{\partial (u,v) }{ \partial (x,y) } | \, dx dy \]

Exemplificaremos diversas mudanças de coordenadas (deformações) do plano ou do espaço. As Interações mostrarão o efeito dessas deformações em regiões planas ou espaciais.

O material desta Seção dará uma justificação conceitual clara e unificada às mudanças tão usadas:
\[ dx dy \mapsto r \, dr d\theta,\quad dx d y dz \mapsto \rho^2 \sin(\phi) d\rho d\phi d \theta \]
envolvendo os sistemas de coordenadas cartesiano, polar e esférico. Esses serão apenas exemplos de deformações bem mais gerais, que podem ser úteis ao Físico, Engenheiro, Arquiteto, Designer.