Efeito global de um campo vetorial na direção de uma curva

Trabalho e Circulação de Campos Vetoriais ao longo de curvas


Um campo vetorial definido em uma região $U$ do plano é uma regra que associa a cada ponto um vetor:
\[ p \mapsto {\bf v}(p)\]

Um vetor sempre pode ser transladado paralelamente, por isso podemos pensar que ${\bf v}(p)$ tem início em $p$. Em um sistema de coordenadas em que $p=(x,y)$, o campo vetorial pode ser representado por\[{\bf F}(x,y) = ( f_1(x,y)\, , \, f_2(x,y) )\]A Interação a seguir ilustra um campo vetorial em que as funções coordenadas $f_1(x,y)$ e $f_2(x,y)$ são polinomiais:

No dia-a-dia e na Física-Matemática aparecem seguidamente os campos de velocidade e campos de força.
Nesta Seção vamos descrever o efeito de um campo vetorial ao longo de uma curva. Ou seja, vamos entender o efeito global das projeções do campo na direção tangente à curva em cada ponto. A palavra "efeito global" se refere a uma Integral dos efeitos em cada ponto.

Dependendo se o campo vetorial modela forças ou velocidades, os efeitos das projeções em curvas se chamarão Trabalho ou Circulação, respectivamente.

São conceitos fundamentais pata a Física-Matemática, usados nas Teorias de Eletromagnetismo, Dinâmica de Fluidos, entre outras.
Se um campo for ortogonal a um trecho da curva, é natural esperar que seu Trabalho ou Circulação sejam nulos. Mas veremos que há campos vetoriais que mudam muito de inclinação, mas que, ainda sim, têm Trabalho ou Circulação nulos em qualquer curva fechada.

As Interações desta Seção permitirão visualizar os campos vetoriais, as curvas e calcular os valores de Trabalho ou Circulação.