Sistema de coordenadas polares

Área em coordenadas polares


Estamos acostumados a representar um ponto $P$ do plano por suas coordenadas cartesianas
\[P = (x , y )\]
Mas podemos representar pontos $P$ do plano de outro modo.
Fixamos um ponto $O\neq P$ (que será chamado Pólo), traçamos uma semireta desde $O$ (chamado eixo polar) e associando a $P$ duas informações:
i) A distância de $P$ até $O$, $r = r(P) > 0$ e ii) o ângulo $0 \leq \theta < 2 \pi$ formado desde o eixo polar até $P$.

Quando o pólo $O$ é escolhido \[O = (0,0)= (x,y)\]e o eixo polar é escolhido no eixo $x > 0$, formam-se o seguintes dicionários:
Cartesiano-polar:
\[\begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \theta = \arccos( \frac{ x }{ \sqrt{x^2+y^2} } ) \end{cases}\] Polar-cartesiano:\[ \begin{cases} x = r \cdot \cos(\theta) \\ y = r \cdot \sin(\theta)\end{cases} \]

Assim como temos gráficos de funções $y= y(x)$ no sistema cartesiano, temos gráficos de funções $r = r(\theta)$ no sistema de coordenadas polares.


A Interação a seguir plota o gráfico de um setor circular de raio $r= r_0$, no sistema polar. Essa "fatia de pizza" poderia até ser chamada de retângulo polar:


A Interação a seguir traça o gráfico de uma função linear não-constante:
\[r=r(\theta)\]