Como definir a Área exata sob um gráfico

A noção geral de Área, somas de Riemann e a Integral


O conceito de Limite foi a base de todo o Cálculo Diferencial. Agora começamos o Curso de Cálculo Integral e usaremos também um processo limite para definir o que é a Área exata da região sob um gráfico.
Sabemos que a Área de um retângulo é o produto da base pela altura.
Isso será tudo que precisamos para começar o processo que levará à definição geral de Área.
Afirmação: Seja $y= f(x) = a_1 \cdot x + a_1$ uma função polinomial de grau $1$ com $f(x)\geq 0$ no intervalo $[a,b]$. Então sabemos calcular a Área da região que fica sob o gráfico $y=f(x)$, acima do eixo horizontal dos $x$, entre a vertical $x=a$ e a vertical $x=b$.


Então daqui em diante podemos nos concentrar no caso em que o gráfico $y= f(x)$ não é uma reta.
Nesse caso precisamos primeiro definir o que é a Área exata da região sob o gráfico $y=f(x)\geq 0$, acima do eixo horizontal e delimitado pelas verticais $x=a$ e $x=b$.
A Interação a seguir mostra esse tipo de região:

A idéia de como definir a Área exata tem cinco etapas:
Etapa 1 (Partições): Partir o intervalo $[a,b]$ em $n$ sub-intervalos:\[ [a,b] = [x_0, x_1]\cup [x_1,x_2]\cup \ldots \cup [x_{n-1}, x_n]\]
onde $a=x_0$ e $b=x_n$.

Etapa 2: Escolher um ponto $\xi_1\in [x_0,x_1]$, um ponto $\xi_2\in [x_1,x_2]$ e, assim por diante, escolher $\xi_i\in [x_{i-1},x_i]$ para cada sub-intervalo.

Etapa 3: Produzir $n$ retângulos de base $[x_{i-1} , x_i]$ e altura $f(\xi_i)\geq 0$.

Etapa 4: Calcular a soma da Área dos $n$ retângulos
\[S_n(f) = (x_1-x_0)\cdot f(\xi_1) + (x_2-x_1)\cdot f(\xi_2) +\ldots+ (x_n-x_{n-1})\cdot f(\xi_n) \]
ou seja
\[S_n(f) = \sum_{i=1}^n (x_{i}-x_{i-1})\cdot f(\xi_i)\]

Essa somas $S_n(f)$ serão chamadas de Somas de Riemann.
Etapa 5: Definir a Área da região como o limite:
\[A = \lim_{n\to +\infty} \, S_n(f),\]
desde que os tamanhos do maiores sub-intervalos usados nas partições que definem $S_n(f)$ tendam a zero.

No próximo parágrafo vamos implementar as 5 etapas e analisar criticamente a última etapa (que é a etapa crucial). Depois exemplificaremos em diferentes gráficos todo o processo.
Essas Etapas podem ser adaptadas para definir a noção de Área exata outros sistemas de coordenadas, cf. Seção Área em coordenadas polares .