O problema de como integrar o produto de funções

Integração por partes



Quando queremos Integrar a soma de duas funções
\[\int_a^b ( f(x) + g(x) ) \, dx, \]
usamos a linearidade da Integral - Seção A noção geral de Área, somas de Riemann e a Integral :
\[\int_a^b ( f(x) + g(x) ) \, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x) \, dx\]
Mas não podemos fazer o mesmo com o produto de funções.
Em geral\[\int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \neq \int_a^b f(x)\, dx \cdot \int_a^b g(x) \, dx\]

As Integrais de produtos de funções aparecem bastante na teoria de Séries de Fourier, fonte de inúmeras aplicações da Matemática.
Por exemplo, naquela Teoria aparecem integrais do tipo
\[ \int_{-\pi}^{\pi} \, (x^2+x) \, \sin( 12 \cdot x ) \, dx\]
Mesmo quando aparentemente não há um produto, como é o caso de \[\int \, \ln(x) \, dx,\] pode ser útil visualizar aí o produto
\[\int \,1\cdot \ln(x) \, dx\]
e usar a técnica que vamos desenvolver nesta Seção para integrar produtos de funções, chamada de Integração por Partes.
Mas desde já é importante ressaltar que:
Não são todas as integrais de produtos que serão tratáveis com técnica de Integração por Partes. Daremos exemplos ao longo da Seção.