Tipos especiais de substituições ou mudanças de variáveis nas Integrais

Integração por Substituições Trigonométricas



A técnica geral de substituição para calcular Integrais está explicada na Seção Integração por substituição.
Nesta Seção vamos detalhar o uso de substituições especiais, que envolvem funções trigonométricas.
As funções algébricas são composições de somas, produtos, potências, quocientes e raízes; por exemplo, \[f(x) = \frac{ x^2+x }{\sqrt{x^2+5} }\]
Adotaremos ao longo de toda esta Seção um procedimento sistemático, composto de 3 Etapas.
Etapa 1: Começando com $\int f(x) \, dx$, onde $f(x)$ é uma função algébrica, fazemos \[x = g(\theta), \quad dx = g^{\prime}(\theta) \, d\theta\] onde $g(\theta)$ é função trigonométrica.

Etapa 2
: Calculamos a Integral Trigonométrica \[\int f( g(\theta) ) \cdot g^{\prime}(\theta)\, d\theta\]

Etapa 3
: Voltamos a expressar o resultado da Etapa 2) na variável $x$.

As escolhas que faremos na Etapa 1 são \[g(\theta) = \sin(\theta),\quad g(\theta) = \tan(\theta)\quad \mbox{ou}\quad g(\theta) = \sec(\theta)\]
Em alguns momentos os detalhes da Etapa 2 estão referidos à Seção Integrais Trigonométricas.