Um conceito fundamental

Motivações para o estudo do Cálculo Integral



No Ensino Médio conseguimos calcular áreas de regiões que se decompõem em polígonos, triângulos ou retângulos. Mas, basta um arquiteto projetar uma superfície curvada, para surgir uma questão natural:
Qual é a área de uma região plana curvada ?

Por exemplo, acionando a tecla Interação a seguir vemos uma região plana que lembra uma tenda.
Após acionar "Modificar", o cursor permite aumentar o número de retângulos que aproximam a forma da região:

Mas qual é a área exata da região em forma de tenda ?

Ainda se usássemos $1.000.000$ de retângulos, sua união seria uma região "serrilhada", diferente da região curvada.
A área exata tem que ser definida por um processo limite, quando o número de retângulos tende a infinito. A expressão matemática da área exata será feita através do conceito de Integral.

Além do interesse geométrico, a Integral tem inúmeras aplicações: na Cartografia, Economia, Física, Química e nas Engenharias.
A noção de logaritmo natural é uma Integral ! E aparece no nosso dia-a-dia, nas escalas Richter (terremotos), de PH (Química), de Decibéis, entre outras.
Em geral não é fácil calcular uma Integral. Veremos diversas técnicas de cálculo, baseadas no chamado Teorema Fundamental do Cálculo, que resumidamente diz:
A Integral cancela a Derivada ! E vice-versa.

Mesmo assim, sempre há Integrais difíceis (ou mesmo inacessíveis !):
Ao longo do Curso veremos a utilidade das Interações para conferir cálculos ou sugerir novos exemplos de Integrais. Além disso, elas permitirão distinguir entre as chamadas Integrais elementares e as não-elementares.

Boa leitura e bons experimentos !