Que função mede a Área sob um gráfico dado ?

Teorema Fundamental do Cálculo


Dado uma função contínua $y= f(x) \geq 0$, definimos na Seção A noção geral de Área, somas de Riemann e a Integral a Área exata da região sob o gráfico $y=f(x)$, que vai de $x=a$ até $x=b$:
\[A = \int_a^b \, f(x) \, dx\]
Começamos esta Seção fazendo um
Experimento: Em quatro exemplos a seguir, manteremos fixo o extremo inferior $x=a$ e mudaremos o extremo superior. Cada escolha que fizermos de extremo superior será denotada \[\underline{x}\]
(sublinhado), sempre com $a < \underline{x}$.

A Área sob o gráfico de $y= f(x)$, de $x=a$ até $x=\underline{x}$, será uma função de $\underline{x}$:\[A(\underline{x}) = \int_a^{\underline{x} } \, f(x) \, dx\]

Exemplo 1): Se $y= f(x) = C\geq 0$ (constante) e se $a=0$, então
\[A(\underline{x}) = \int_0^{\underline{x} } \, C\, dx = C\cdot \underline{x}\]


Exemplo 2) : Se $y= f(x) = C x$, então
\[A(\underline{x}) = \int_0^{\underline{x} } \, C x \, dx = C\cdot \frac{\underline{x}^2}{2}\]


Exemplo 3): Se $y= f(x) = C x^2$, então
\[ A(\underline{x}) = \int_0^{\underline{x} } \, C x^2 \, dx = C\cdot \frac{\underline{x}^3}{3}\]


Exemplo 4: Seja $y= C \underline{x}^3$, então
\[ A(\underline{x}) = \int_0^{\underline{x} } \, C x^3 \, dx = C\cdot \frac{ \underline{x}^4}{4}\]


Questão: O que há de comum aos quatro Exemplos ? Mais especificamente, o que há de comum aos exemplos do ponto de vista do Cálculo Diferencial ?