Um quociente de derivada e função que ocorre frequentemente

Integral da Derivada Logarítmica



Reconhecer o quociente da derivada de uma função pela própria função \[\frac{f^{\prime}(x) }{f(x)}\]pode ser uma etapa crucial para calcular uma Integral ou para resolver uma Equação Diferencial.

Às vezes até "forçamos" que um dado quociente fique nesse formato especial. Por exemplo, quando escrevemos
\[\frac{x}{x^2 + 1 } = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \, x}{x^2 + 1 } = \frac{1}{2} \cdot \frac{f^{\prime}(x) }{f(x)} \]
com \[f(x) = 1 + x^2\]
O motivo disso é que sabemos integrar esses quocientes:
Afirmação: Seja $f(x)$ derivável e suponha que $f(x)$ não se anule nos pontos onde consideramos o quociente $\frac{f^{\prime}(x) }{f(x)}$. Então \[\int \frac{f^{\prime}(x) }{f(x)} dx = \ln( | f(x)| ) + C,\quad \mbox{onde}\quad C \in R\]

Essa Afirmação motiva definir:
Definição: O quociente $\frac{f^{\prime}(x) }{f(x)}$ é a Derivada Logarítmica de $f(x)$.

No próximo parágrafo daremos uma justificação detalhada dessa afirmação e analisaremos o gráfico de
\[y= \ln( | f(x) |), \quad \mbox{onde}\, f(x) \neq 0\]