A idéia de fatiamento de regiões espaciais

Volume por Fatiamento ou por Revolução


A noção de volume de uma região espacial geral (curvada, determinada por desigualdades, etc) é tema do Curso (mais avançado) de Cálculo Integral em mais variáveis e Séries.
Porém, quando a região espacial for bastante simétrica, poderemos determinar seu volume exato com as técnicas deste Curso.

Com a popularização das impressoras 3d, fica fácil explicar que uma região espacial possa ser fatiada em seções de pequena espessura:

Se a espessura de cada fatia fica menor, será preciso um número maior de fatias para completar a figura espacial.

Por isso o volume do objeto espacial deve ser descrito como uma soma dos volumes de um número cada vez maior de fatias cada vez mais finas, formando assim um processo limite.

Como já temos a noção geral de Área exata de uma região plana (pelo menos se estiver sob um gráfico ou entre dois gráficos) da Seção A noção geral de Área, somas de Riemann e a Integral - podemos propôr a seguinte:
Definição (Volume por Fatiamento): Suponha que uma região $\mathcal{E}$ do espaço $(x,y,z)$ esteja compreendida entre $z=a$ e $z=b$. Suponha que cada fatia de altura $z=\underline{z}$ de $\mathcal{E}$ seja uma região do plano $(x,y,\underline{z})$ com Área exata $A(\underline{z})$. Se a função $A(\underline{z})$ for uma função contínua, definimos o Volume de $\mathcal{E}$ como
\[V := \int_a^b \, A(z)\, dz\]

No próximo parágrafos aplicaremos esta definição e daremos Interações que mostram regiões espaciais e suas fatias.
No final da Seção adaptaremos a idéia de fatiamento em discos para calcular volumes dos chamados sólidos de revolução.