Campos Escalares e seus Níveis

Campos Escalares e Vetoriais, Gradientes, Curvas e Superfícies de Nível



Uma placa bi-dimensional pode ter densidade variável $\delta(x,y)$, assim como uma região espacial pode ter temperatura variável $T(x,y,z)$.
Em situações mais realistas, a densidade e a temperatura ainda podem depender do tempo $t$:
\[\delta(x,y,t)\quad \mbox{e}\quad T(x,y,z,t)\]
Por enquanto vamos pensar que não haja essa dependência temporal (no final da Seção voltaremos a esse ponto).
Esse dois exemplos práticos motivam a seguinte:
Definição: Uma função $f: U \to \mathbb{R}$ definida em um aberto $U$ de $\mathbb{R}^2$ (ou de $\mathbb{R}^3$) será chamada de campo escalar.

A exigência de que $U$ seja aberto facilita a definição das derivadas parciais de $f$ em cada ponto.
Para termos uma compreensão do campo escalar é útil representar as curvas de $\mathbb{R}^2$ (ou as superfícies de $\mathbb{R}^3$) onde a função $f $ assume valores constantes.
Definição: Seja $f: U \to \mathbb{R}$ um campo escalar definido em $U\subset \mathbb{R}^2$. O conjunto
\[ \{ (x,y)\in U ; \, f(x,y)= k\} \] é chamado de curva de nível $k$.

Esse nome se origina do caso bem concreto em que o campo escalar é a altura \[z = f(x,y)\] e as curvas de nível são aquelas que usadas nos mapas de relevo.

Agora consideramos o análogo tridimensional das curvas de nível:
Definição: Seja $f: U \to \mathbb{R}$ é um campo escalar definido em $U\subset \mathbb{R}^3$, o conjunto
\[ \{ (x,y,z)\in U ; \, f(x,y,z)= k\} \]
é chamado de superfície de nível $k$.

Nos próximos parágrafos, Interações vão traçar curvas e superfícies de níveis e determinar em cada ponto as direções/sentidos de crescimento máximo.
Definiremos os chamados campos de gradientes planos e espaciais, assim como campos vetoriais gerais e os visualizaremos com Interações.
Ao final da Seção, uma Interação gerará animações de campos vetoriais que dependem de um parâmetro de tempo (não-autônomos).