Curvas planas parametrizadas regulares

Curvas Parametrizadas planas e espaciais, velocidade e aceleração


Nas diversas aplicações da Matemática, precisamos entender a trajetória de um objeto $P=P(t)$ que muda com um parâmetro $t$, que pode ser o tempo físico ou outra grandeza da qual dependa a posição do objeto.
Ou seja,
Precisamos permitir que $P(t)$ descreva curvas no plano ou no espaço, não apenas gráficos e funções $y= f(t)$ no plano $x,y$.

E não bastará ter informação sobre o conjunto de pontos da curva. Precisaremos ter informação sobre como a curva é percorrida, em termos do parâmetro $t$.

Por isso definimos:
Definição: Uma curva plana parametrizada regular $\gamma$ é uma aplicação que a cada $t \in [a,b]$ associa um ponto no plano:
\[\gamma: t \mapsto ( x(t) , y(t) ),\]
onde
a) $x(t)$, $y(t)$ são funções deriváveis,
b) não existe $t_0\in [a,b]$ onde haja anulação simultânea $x^{\prime}(t_0) = y^{\prime}(t_0) = 0 $


O Exemplo 0 de curva no plano que teremos que parametrizar é o segmento de reta ligando dois pontos. A Interação a seguir plota um segmento de reta de comprimento $1$, mas que precisa "tempo" $t=10$ para ser percorrido:



O exemplo default da Interação a seguir é o conhecido círculo, mas que é percorrido 4 vezes mais rápido do que o usual:

Alerta: Na prática nem sempre será fácil obter uma parametrização $\gamma(t)$ para uma curva dada implicitamente por uma equação $f(x,y) =0$ no plano. Reciprocamente, dada $\gamma(t)$ pode não ser fácil encontrar uma equação implícita $f(x,y)=0$ para o traço da curva.

Nos próximos parágrafos veremos curvas planas e espaciais, bem como seus vetores velocidade e aceleração em cada ponto. As Interações permitirão visualizar diversas curvas interessantes e importantes.