O Operador Del ou Operador de Hamilton

Operador Del, Gradiente, Divergência, Rotacional e Laplacianos



Os conceitos de divergência e rotacional que introduziremos nesta Seção têm importância capital na expressão de leis Físico-Matemáticas, como as Leis de Maxwell e a Mecânica de Fluidos.
Primeiro explicaremos os conceitos e mostraremos que há relações conceituais entre eles. Depois, em um parágrafo único, reuniremos as Interações que os calculam e/ou os exibem como campos vetoriais espaciais.
O objetivo é usá-las para experimentar com funções e campos vetoriais e confirmar as relaçoes conceituais previstas na teoria.

Começamos introduzindo um símbolo; nos próximos parágrafos vamos expressar através dele diferentes conceitos do Cálculo Vetorial Diferencial.
Ao longo da Seção denotamos os vetores unitários:
\[ {\bf i} = ( 1, 0 , 0 ),\quad {\bf j} = ( 0 , 1, 0) \quad \mbox{e}\quad {\bf k} = ( 0 , 0 , 1)\]
Definição: O Operador Diferencial Del é dado simbolicamente por
\[{\small \nabla := \frac{\partial }{\partial x} \cdot {\bf i} + \frac{\partial }{\partial y}\cdot {\bf j} + \frac{\partial }{\partial z} \cdot {\bf k} = ( \frac{\partial }{\partial x} \, , \, \frac{\partial }{\partial y} \, , \, \frac{\partial }{\partial z} \,)}\]
onde $\frac{\partial }{\partial x}$ deriva em $x$ , $\frac{\partial }{\partial y}$ deriva em $y$ e $\frac{\partial }{\partial z}$ deriva em $z$ qualquer função.

Terminologia: Usamos o termo "Operador" porque $\nabla$ serve para modificar funções ou campos. Usamos "Diferencial" porque o modo como $\nabla$ atua é derivando.

O Operador Del também é conhecido como Operador de Hamilton.