O importante conceito de Geodésica

Trajetórias Geodésicas e movimento uniforme em Superfícies




Esta Seção inicia o estudo das chamadas curvas geodésicas, com ênfase em Exemplos e experimentação.
A Teoria das Geodésicas é vasta, devido à importância tanto em Matemática - nas áreas de Geometria e Dinâmica - quanto na Física-Matemática - na Mecânica e na Relatividade.
Esta Seção pode servir de motivação para o estudo das Equações Diferenciais de um ponto de vista geométrico, pois como veremos as geodésicas satisfazem equações diferenciais de segunda ordem.
Começamos lembrando que um objeto que se desloca no plano, sem atrito e sem estar sob efeito de uma força, segue uma trajetória retilínea uniforme.
O termo "retilínea" significa que o traço do movimento é uma reta. E o termo "uniforme" significa que a velocidade é constante. Mas se a superfície não for plana, cabe perguntar:
Questão: Qual a trajetória trajetória de um objeto que se desloca ao longo de uma superfície, sem atrito e sem sofrer efeito de uma força externa ?

Se a superfície contém alguma reta (ou semireta), pode acontecer do objeto se deslocar exatamente ao longo da reta. Esse é o caso de um Cone ou de um Cilindro (que têm retas geratrizes).
Mas existem superfícies que não contém nenhuma reta. Por exemplo, o parabolóide circular mostrado na Interação a seguir:

Imagine que essa superfície seja a forma de um cálice usado por um astronauta rm uma estação espacial - onde não há gravidade. E que o astronauta resolva jogar uma bolinha dentro do cálice:
Questão: Sem gravidade e sem atrito, qual a trajetória da bolinha jogada no interior do cálice ? Em especial, será que a bolinha pode ficar rodando dentro do cálice formando uma trajetória fechada ?

Vamos começar com a seguinte:
Definição (Informal) de Geodésica: Chamamos de geodésica a trajetória de um objeto que se desloca em uma superfície, sem atrito e sem estar sob efeito de nenhuma força resultante.

Nos parágrafos a seguir daremos uma definição precisa de geodésica e apresentaremos exemplos explícitos de geodésicas em Superfícies de Revolução.
Também explicaremos por que é tão difícil obter geodésicas exatas e explícitas.

Ao longo da Seção usaremos Interações que aproximam as trajetórias geodésicas e que permitem fazer experimentos com geodésicas de quaisquer superfícies.

Esperamos que esses experimentos motivem ou auxiliem o estudo do vasto tema das geodésicas.