Velocidade escalar de curvas parametrizadas

Parametrização pelo Comprimento de Arco



Esta Seção traz alguns conceitos preliminares para a Seção Curvatura, Torção e Triedro de Frenet.
Apresentaremos de modo introdutório a noção de comprimento de gráficos e curvas, que será estudada em mais detalhe na Seção Comprimento de gráficos e de curvas e Reparametrização do Curso de Cálculo Vetorial Integral e Aplicações.
Lembramos que já vimos vários exemplos de curvas parametrizadas planas ou espaciais
\[\begin{cases} \gamma(t) = (\, x(t)\, ,\, y(t)\,),\quad t\in (a,b)\\ \gamma(t) = (\, x(t)\, ,\, y(t)\,,\, z(t)\, ),\quad t\in (a,b) \end{cases}\]
na Seção anterior Curvas Parametrizadas planas e espaciais, velocidade e aceleração.
Já observamos que velocidade instantânea dessas curvas tem um caráter vetorial; para curvas planas ou espaciais
\[\begin{cases}\gamma^{\prime}(t) = (\, x^{\prime}(t)\, ,\, y^{\prime}(t)\,),\quad t\in (a,b)\\
\gamma^{\prime}(t) = (\, x^{\prime}(t)\, ,\, y^{\prime}(t)\,,\, z^{\prime}(t)\, ),\quad t\in (a,b)\end{cases} \]
A Interação a seguir mostra no Exemplo default o conhecido círculo unitário mas com vetores velocidade maiores que o que seria esperado:


Na Interação a seguir novamente o círculo unitário, mas agora com pequenos vetores velocidade:


Definição: Chamaremos de velocidade escalar ("speed") a norma (comprimento) do vetor velocidade\[|| \gamma^{\prime}(t)||\]

Se a velocidade escalar de uma curva for muito grande, uma pequena modificação no parâmetro $t\in (a,b)$ pode provocar grandes mudanças na posição $\gamma(t)$.
Ao contrário, se velocidade escalar for bem menor que $1$, grandes mudanças no parâmetro $t\in (a,b)$ podem afetar muito pouco a posição da curva.
No próximo parágrafo vamos expessar o comprimento da curva em termos de sua velocidadee escalar.