Sobre Áreas de superfícies curvadas

Áreas de Gráficos, de Superfícies Parametrizadas e de Revolução



No Ensino Médio há mais exemplos de Volumes de regiões espaciais do que exemplos de Áreas de superfícies. E os poucos exemplos são regiões espaciais ou superfícies obtidos por revoluções.

Vamos explicar o porquê dessa escassez.
Generalizando o que fizemos na Seção Comprimento de gráficos e de curvas e Reparametrização , definiremos também a Área de uma superfície também como uma Integral:
O comprimento de um gráfico $\gamma:\, y= y(x)$, para $x\in [a,b]$ é definido por \[L(\gamma) := \int_a^b \, \sqrt{1 + (y^{\prime}(x))^2}\, dx\]

Para superfícies-gráficos $S:\, z= f(x,y)$, para $(x,y)\in [a,b] \,\mbox{x}\, [c,d]$, definiremos \[A(S) := \iint_{[a,b] \,\mbox{x}\, [c,d]} \, {\small \sqrt{ 1 + ( \frac{\partial f}{\partial x})^2 + ( \frac{\partial f}{\partial y})^2 }}\, dxdy\]

Raramente uma integral desse tipo, envolvendo raiz se soma de quadrados, será de tipo elementar ! A definição de Área como Integral se estende para superfícies de revolução e para superfícies parametrizadas, mas raramente é expressa por integrais elementares. Daí a escassez de exemplos !

Veremos também nesta Seção um forma de calcular Áreas de superfícies de revolução que interessa à Engenharia: o Teorema de Pappus-Guldinus.