Diferentes descrições dos Campos Conservativos (Irrotacionais)

Caracterização dos Campos Conservativos Planos e Espaciais


Na Seção Integrais de Linha, Circulação, Trabalho e Fluxo Exterior chamamos um campo vetorial ${\bf G}(x,y)$ de conservativo se fosse gradiente de alguma função:

\[{\bf G} := \nabla h(x,y) = ( \frac{\partial h}{\partial x} \,,\, \frac{\partial h}{\partial y} ), \]onde $h(x,y)$ é chamado de potencial.

O objetivo desta Seção é justificar que podemos chamar de campo conservativo um campo vetorial que satisfaça qualquer uma das quatro condições a seguir:
i) ${\bf G}(x,y)$ tem rotacional escalar nulo,
ii) a circulação/trabalho de ${\bf G}(x,y)$ é nula em toda curva fechada simples,
iii) a circulação/trabalho de ${\bf G}(x,y)$ em uma curva só depende dos pontos inicial e final,
iv) ${\bf G}(x,y)$ é campo de gradientes.

Sob condições de regularidade de ${\bf G}(x,y)$, as condições são equivalentes. Ou seja, se ${\bf G}(x,y) $ tiver uma das propriedades, terá todas as outras. Se não tiver alguma, não terá nenhuma.

Depois adaptaremos o estudo para o caso de campos vetorais espaciais. Algumas etapas da prova se adaptam facilmente, outras ficam mais interessantes, pois aparecem superfícies e curvas espaciais notáveis.