Comprimento de Gráficos e Curvas segundo Arquimedes

Comprimento de gráficos e de curvas e Reparametrização


Imagine um gráfico ou uma curva feita de um material não-elástico, como um arame. O que gostaríamos de fazer é "desentortar" esse gráfico ou curva e então, quando estiver reto, calcular seu comprimento exato.
Do ponto de vista matemático o problema consiste em definir o comprimento exato do gráfico ou da curva, pois, a princípio, o que sabemos medir são segmentos de retas.
Desde Arquimedes, a idéia do comprimento de um gráfico é baseada em um processo limite de comprimentos de poligonais inscritas no gráfico.
A Interação a seguir traça poligonais inscritas em um gráfico e soma os comprimentos dos segmentos usados:

Quando não se trata de um gráfico, mas sim de uma curva parametrizada também podemos usar a noção clássica de comprimento como processo limite de comprimento de poligonais.
A Interação a seguir tem como exemplo default um curva plana parametrizada:

Nos próximos parágrafos vamos introduzir o ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral sobre o comprimento de curvas. Vamos incluir as curvas espaciais, tratar da questão de mudança de parametrizações de curvas e traduzir as noções desenvolvidas para o sistema de coordenadas polares.

Interações implementarão cada resultado e permitirão experimentar com as curvas.