Quanto se curva um nó e quanto se torce uma curva fechada esférica

Curvatura e Torção de Curvas Fechadas e Nós



Na Seção Curvatura, Torção e Triedro de Frenet do Curso Cálculo Vetorial Diferencial introduzimos os importantes conceitos de função curvatura (sem sinal) $\kappa$ e função torção $\tau$ de curvas espaciais.
E na Seção Integrais de Linha, Circulação, Trabalho e Fluxo Exterior vimos alguns conceitos que se expressam como integrais ao longo de curvas.
Por exemplo, a massa total $M$ de uma curva $\gamma$ é a integral da função densidade $\delta(s)$ ao longo da curva
\[M = \int_{\gamma} \delta(s) \, ds,\]
onde \[l(\gamma) = \int_{\gamma} \, ds\] é o comprimento total da curva.
Aqui vamos considerar o conceito de curvatura total de uma curva $\gamma$
\[ \int_{\gamma} \kappa(s) \, ds \]

e a chamada torção total:
\[ \int_{\gamma} \tau(s) \, ds \]

Vamos usar as capacidades numéricas e gráficas das Interações para exemplificar dois fatos surpreendentes:
i) sobre a curvatura total de quaisquer nós (Teorema de Fáry - Milnor) e
ii) sobre a torção total de curvas fechadas contidas em uma esfera (Teorema de Penna).
Considerando a quantidade de tipos de nós diferentes que existem, é notável que haja um Teorema geral sobre eles, como em i). E considerando que nos globos da morte dos circos há tanta variedade de trajetórias possíveis, é notável que haja uma afirmação geral sobre elas, como em ii).