Integrais com Parâmetros e tipos de funções que definem

Derivada de Integrais em relação a um Parâmetro (Fórmulas de Leibniz)


Funções importantes são definidas através de Integrais Indefinidas, por exemplo, o logaritmo natural \[\ln(x) := \int_1^x \, \frac{1}{t} \, dt,\quad \forall x > 0\]
Nesse caso a derivada em $x$ depende apenas do Teorema Fundamental do Cálculo.
Mas muitas vezes usamos Integrais Definidas ou Impróprias com integrandos que dependem de um parâmetro, por exemplo o parâmetro $x$:
\[I(x) = \int_a^b\, g(x,t)\, dt\quad \mbox{ou}\quad I(x) = \int_a^{+\infty}\, g(x,t)\, dt\]

Em geral para obter a derivada da função $I(x)$ não bastará apenas o Teorema Fundamental.

Em alguns casos a Integral $I(x) = \int_a^b\, g(x,t)\, dt $ é de tipo elementar:
Exemplo 1: A função $F_1(x):= \int_1^2 e^{ x\, t }\, dt$ se expressa em termos de funções elementares e sua função derivada é
\[F_1^{\prime}(x) = \frac{2 e^{2 x}}{x} - \frac{e^{2 x}}{x^2} - \frac{e^x}{x}+ \frac{e^x}{x^2}\]


Já a Integral definida que depende do parâmetro $x$ \[F_ 2(x):= \int_2^3 \frac{\sin(x\cdot t)}{t }\, dt\]
não se expressa em termos de funções elementares. Não podemos imitar a justificação do Exemplo 1, pois não temos uma expressão fechada de $F_2(x)$ para derivar.

No Curso (mais avançado) Transformadas de Laplace e Aplicações usaremos Integrais Impróprias como
\[I(x) = \int_0^{+\infty}\, g(x,t)\, dt,\]
que dependem de um parâmetro $x > 0$ e será muito importante sabermos derivar em relação a $x$.
Nos colocamos então as seguintes Questões:
Questões:
1) saber se podemos derivar $I(x) = \int\, g(x,t)\, dt $ em relação ao parâmetro $x$, sem precisar explicitar $I(x)$ e
2) qual é a função derivada $I^{\prime}(x)$.

As respostas a essas questões são tradicionalmente associadas ao nome de Leibniz .
O surprendente será que poderemos derivar a Integral em relação ao parâmetro, sem precisar explicitar a Integral.