Viscosidade e o início e fim de um Vórtice

Introdução à Dinâmica de Fluidos reais (com viscosidade)


Na Seção Introdução à Hidrostática e Hidrodinâmica analisamos o chamado vórtice de Rankine, que descreve a forma da superfície de um líquido que gira em com velocidade em estado estacionário.
Mas na situação idealizada daquela Seção seria impossível produzir o vórtice, fazendo girar o recipiente que contém o líquido (ou cessar o vórtice, detendo o giro do recipiente), pois não foi levada em conta a viscosidade do líquido.
Suponhamos um recipiente cilíndrico suficientemente comprido (para podermos ignorar os movimentos do líquido no fundo do recipiente). Supomos um líquido em repouso no recipiente, quando então começamos a girar o recipiente. Então:

É a viscosidade do líquido que o faz aderir à parede do recipiente e começar a girar junto com essa parede. Esse movimento se comunica - difunde - gradualmente ao resto do líquido. Quando cessarmos o movimento do recipiente, novamente é a viscosidade que comunica ao resto do líquido a diminuição na quantidade de movimento.

Para deixarmos mais claro de que forma a viscosidade atua, temos o seguinte:
Afirmação 1 (Princípio de difusão da viscosidade) A quantidade de movimento se difunde no líquido segundo o mesmo tipo lei que rege a difusão do calor ou a difusão de um produto químico em um meio homogêneo.

Na Seção Equação da Difusão do Calor e Problemas de Esfriamento e na Seção Equação de Difusão e segunda Lei de Fick dos Cursos de Equações Diferenciais vimos que as difusões são modeladas pela equação diferencial parcial:
\[\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = k^2 \cdot \nabla^2 u(x,t)\]
Um termo desse tipo, envolvendo o laplaciano, será acrescentado à Equação de Euler para modelar a dinâmica de líquidos com viscosidade, na chamada Equação de Navier-Stokes.
Não será surpresa se usarmos resultados das Seções sobre esfriamento ou difusão química para resolver casos simples (lineares) da Equação de Navier-Stokes (os chamados fluxos de Couette e Poiseuille).

Nesses casos há anulação do termo não-linear (a derivada convectiva). Ao final da Seção indicaremos que, em situações ainda mais srealistas, esse termo não-linear não pode ser desprezado. São situações em que o fluxo deixa de ser organizado (laminar) e passa a apresentar turbulências.