Fatiamentos e Integrais Duplas Iteradas

Integrais Duplas como Integrais Iteradas (em coordenadas Cartesianas e Polares)


A definição da Integral Dupla como um processo limite de somas é o tema da Seção Área de regiões do plano, Integral dupla e Volume sob um gráfico do Curso de Cálculo Integral em mais variáveis.

Naquela Seção a Área exata de uma região $U$ do plano correspondia à Integral Dupla
\[\iint_U\, dA,\]
definida como limite de somas de Áreas de regiões simples inscritas em $U$. Mais geral, a Integral Dupla
\[\iint_U\, f(x,y)\, dA\]
pode ser interpretada como Volume sob o gráfico de $y=f(x,y)$, se $f(x,y)\geq 0$ em $U$.
Outro exemplo básico da utilidade das Integrais Duplas ocorre quando $f(x,y)= \delta(x,y)$ é uma função de densidade e
\[ M := \iint_U\, \delta (x,y)\, dA \]
mede a Massa total da região $U$.
Naquela Seção a ênfase estava em definir a Integral dupla, não em calculá-la. O objetivo desta Seção é fornecer técnicas para calcular as Integrais Duplas como duas Integrais Iteradas (ou seja, uma depois da outra).

Nos dias de hoje, com tecnologias como a tomografia ou a impressão 3d, a idéia de descrever um objeto através de fatias muito finas tornou-se muito natural. Essa é a idéia intuitiva que será usada para calcular integrais duplas:
Fazer seções planas (fatias) de uma região plana (ou espacial) cuja área (ou volume) é expresso pela Integral Dupla.

Há muitas opções de como fazer as seções planas (fatias) do objeto no espaço, mas duas opções básicas são de usar planos paralelos ao eixo dos $x$ ou planos paralelos ao eixo dos $y$. A interação a seguir permite visualizar essas duas opções de fatiamentos:

A noção de continuidade para uma função $f(x,y)$ de duas variáveis está explicada na Seção Limites e Continuidade para funções de duas ou mais variáveis do Curso Cálculo Diferencial em mais variáveis.
A seguir, o termo "iteradas" significa "repetidas" ou "em sequência".

Afirmação (Integrais Duplas Iteradas em domínio retangular): Se $f(x,y)$ é uma função contínua em um retângulo $R = [a,b]\times [c,d]$, então a integral dupla $\iint_{R} \, f(x,y) \, dA$ pode ser calculada através de duas integrais usuais iteradas: \[ \iint_{R} \, f(x,y) \, dA = \int_{a}^{b} \, (\int_{c}^{d} \, f(x,y)\, dy ) \, dx =\]
\[= \int_{c}^{d} \, (\int_{a}^{b} \, f(x,y)\, dx )\, dy\]



Aplicações das Integrais Duplas Iteradas encontram-se, por exemplo, na Seção Área de Gráficos, Superfícies Parametrizadas e de Revolução.