Importantes resultados matemáticos e suas aplicações Físicas

Motivações para o Cálculo Vetorial Integral


Neste Curso de Cálculo Vetorial Integral e Aplicações vamos usar a linguagem desenvolvida no Curso anterior (de Cálculo Vetorial Diferencial) e pôr em ação novas ferramentas matemáticas importantes.
Se lembrarmos do chamado Teorema Fundamental do Cálculo (Newton e Leibniz), havia nele uma surpreendente ligação entre algo que acontece nos pontos-fronteira $a,b $ e algo que acontece no interior do intervalo $[a,b]$:
\[f(b) - f(a) = \int_a^b \, f^{\prime}(x) \, dx \]
Neste Curso veremos generalizações desse fato, que relacionam de modo surpreeendente o que acontece na fronteira com o que acontece no interior. Resumimos na seguinte tabela (onde dim. é abreviatura de dimensão):
\[\scriptsize{\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \mbox{dim. }& \mbox{fronteira}& \mbox{interior} & \mbox{operador no interior} & \mbox{Teorema} \\ \hline 1 & \mbox{pontos} & \mbox{intervalo} & \mbox{derivada}& \mbox{Newton/Leibniz}\\ \hline 2 & \mbox{curva plana} &\mbox{ região plana} & \mbox{rotacional escalar} & \mbox{Green} \\\hline 2 & \mbox{curva espacial} & \mbox{superfície} & \mbox{fluxo rotacional} &\mbox{Stokes} \\\hline
3 & \mbox{superfcie} & \mbox{região espacial} & \mbox{divergente} &\mbox{Gauss} \\\hline
\end{array}}\]

Nos Livros-textos são escassas as imagens e exemplos detalhados para esses importantes Teoremas.
Neste Livro-Interativo podemos gerar inúmeros exemplos, através das hipercalculadoras que ilustram e determinam circulação, trabalho e fluxo.

Aplicaremos esses fatos matemáticos na Teoria do Eletromagnetismo de Maxwell (1831-1879).
As "superfícies imaginárias", "superfícies gaussianas", as voltas que damos em um fio elétrico para formar um solenóide, de que tratam as Leis de Ampère-Maxwell, Faraday, Lenz e Gauss, são aplicações dos Teoremas resumidos da Tabela acima.
Ou quem sabe seria melhor dizer o contrário ? Que as leis do Eletromagnetismo motivaram os matemáticos a tentar provar esses importantes fatos ?

O grande matemático russo V. Arnold (1937-2010) chegou a dizer uma vez que "A Matemática é um ramo da Física". Mas não é preciso ser de um partido ou de outro:
Há uma via de mão-dupla: experimentos físicos e modelos matemáticos influenciam-se uns aos outros !

Também aplicaremos as ferramentas do Cálculo Vetorial Integral (e de Equações Diferenciais) para modelar aquilo que é omnipresente no nosso dia-a-dia: os fluidos.
Estamos mergulhados num grande oceano de ar, que sentimos mais claramente quando viajamos em alta velocidade ou quando subimos uma montanha. Quando rodamos uma xícara de chá ou um decanter, quando flutuamos ou nadamos, sentimos efeitos dos líquidos e presenciamos fenômenos ligados à sua estática e à sua dinâmica.
Nossos modelos matemáticos para a dinâmica de fluidos aproximam-se mais e mais de captar a realidade dos fluidos, com suas turbulências e vórtices. Mas o preço que pagamos é de não conseguirmos resolver exatamente as equações envolvidas, cuja complexidade cresce enormemente.

Esperamos que a interatividade total com o conteúdo exposto e os exercícios sejam motivadores para quiser continuar o estudo dessas belas teorias físico-matemáticas, o Eletromagnetismo e a Dinâmica de Fluidos.