Região espacial simples e superfície fronteira

Teorema de Gauss ou da Divergência no Espaço


As curvas ($1$-dimensionais) podem ser consideradas como fronteira de regiões planas ou de superfícies ($2$-dimensionais).
Assim as estudamos neste Curso na Seção Teoremas de Green (do Rotacional) e da Divergência no Plano e na Seção Teorema de Stokes (do Rotacional) para Gráficos e Superfícies Parametrizadas.
Nesta Seção vamos aumentar a dimensão dos objetos envolvidos: superfícies ($2$-dimensionais) serão fronteiras de regiões espaciais ($3$-dimensionais).

Exemplos:
i) a esfera de raio $r$ é o bordo da bola de raio $r$;
ii) o elipsóide é a fronteira da região ovalada no formato da bola de rugby;
iii) a união das seis faces de um paralelepípedo forma uma superfície (regular por partes) que é a fronteira do paralelepípedo sólido;
iv) deformações da esfera e do elipsóide são as fronteiras de regiões no formato de bolas murchas de futebol e de rugby, respectivamente;
v) a superfície do toro é a fronteira do toro sólido ou "doughnut".


O item v) é menos conhecido e está mostrado na Interação a seguir. A parametrização foi escolhida de modo que o vetor normal unitário em cada ponto aponte para fora do toro sólido:

Definição: Uma região limitada do espaço cuja fronteira é dada por uma única superfície (conexa, compacta e regular por partes) é chamada de região espacial simples.




O Teorema central desta Seção - atribuído a Gauss e a Ostrogadski - mostrará como a informação na superfície-fronteira de uma região espacial produz informação sobre toda a região espacial !

As Interações desta Seção implementarão completamente o Teorema: mostrarão campos vetoriais e superfícies, calcularão fluxos através de superfícies e calcularão integrais triplas da divergência nas regiões espaciais. Tanto em coordenadas cartesianas, quanto cilíndricas e esféricas.