Um pilar da Física-Matemática

Teorema de Stokes (do Rotacional) para Gráficos e Superfícies Parametrizadas



O Teorema de Stokes que será estudado nesta Seção é um dos resultados Matemáticos mais usados na Física.

Por exemplo, no Eletromagnetismo de Maxwell o Teorema Stokes é a expressão Matemática das Leis Físicas.
Trata-se de uma generalização do Teorema de Green (da Seção Teoremas de Green (do Rotacional) e da Divergência no Plano), que, à sua vez, é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo !
Por isso recapitulamos uma noção que usamos no estudo do Teorema de Green:
Definição (Região simples e sua fronteira): Considere $U$ o interior de uma curva $\gamma$ fechada simples, que tem orientação positiva em relação a $U$ (ou seja, vemos $U$ sempre à esquerda quando seguimos $\gamma$). Diremos que $\gamma$ é a fronteira de $U$, denotada \[\gamma = \partial U\]e $U$ será chamada de região simples.

Vimos na Seção citada:
Afirmação (Teorema de Green ou do Rotacional no plano) Seja $U$ região simples do plano $(x,y)$. Seja ${\bf G} = ( g_1(x,y), g_2(x,y) )$ um campo vetorial regular. Então o Trabalho/Circulação do campo na curva fronteira $\gamma = \partial U$ está relacionado ao fluxo do Rotacional de ${\bf G}$ através da região $U$:
\[{\small \oint_{\partial U} {\bf G} \cdot {\bf t}\, ds = \iint_{U}\, (\nabla \, \mbox{x}\, {\bf G}) \cdot {\bf k} \, dxdy}\]onde \[(\nabla \, \mbox{x}\, {\bf G}) \cdot {\bf k}\] é produto escalar do vetor Rotacional $\nabla \, \mbox{x}\, {\bf G}$ com o vetor ${\bf k} = (0,0,1)$, normal à região plana $U$.

No Teorema de Stokes a região bidimensional não precisa ser plana, pode ser curvada, fazendo parte de um gráfico ou de uma superfície mais geral.

Nos próximos parágrafos vamos adaptar o Teorema de Green para superfícies que são "cópias" de regiões simples do plano.
Depois vamos dando mais liberdade às superfícies, que podem ter geometrias mais complicadas.
O Teorema de Stokes relacionará o Trabalho/Circulação de um campo ao longo de uma curva-fronteira com o Fluxo do Rotacional do campo através da superfície.

Interações permitirão ver as superfícies e campos vetorias envolvidos, bem como calcular Circulações/Trabalhos e Fluxos através de superfícies. Ou seja, permitirão experimentar com ambos os "lados" do Teorema de Stokes.