Um modo diferente de calcular Integrais de Linha

Teoremas de Green (do Rotacional) e da Divergência no Plano


Definimos e calculamos diversos exemplos de Integrais de Linha na Seção Integrais de Linha, Circulação, Trabalho e Fluxo Exterior.
Naquela Seção o que fazíamos era aplicar diretamente as definições:
Parametrizávamos a curva (possivelmente por partes); calculávamos explicitamente Integrais em uma variável em cada parte; somávamos os resultados.

Nesta Seção vamos apresentar uma forma completamente diferente de calcular Circulação/Trabalho ao longo de curvas planas.

(Versão Informal do Teorema de Green): Seja ${\bf F}(x,y) = (f_1, f_2)$ um campo vetorial regular definido em uma região $U$ com fronteira dada por $\gamma = \partial U$. Então
\[ \oint_{\partial U} \, f_1 \, dx + f_2\, dy = \iint_{U}\, \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y}\, dxdy\]
(em notação a ser explicada em detalhe).

Portanto, se soubermos calcular as Integrais Duplas
\[\iint_{U}\, \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y}\, dxdy,\]
determinaremos Circulação e Trabalho na fronteira de $U$
\[\oint_{\partial U} \, f_1 \, dx + f_2\, dy\]
E vice-versa ! A depender do que seja mais fácil ou acessível.

No próximo parágrafo daremos um enunciado preciso do Teorema de Green, primeiro em regiões simples e gradualmente em regiões "com furos".
E também deduziremos do Teorema de Green outro fato: há um modo de relacionar o fluxo que atravessa a curva fronteira $\gamma = \partial U$ com uma integral em $U$, o chamado Teorema da Divergência no plano.

Interações para calcular Circulação/Trabalho e Interações para calcular Integrais Duplas Iteradas permitirão exemplificar ambos os lados do Teorema de Green.