A modelagem da interação predador-presa

Interação predador-presa e campo de Lotka-Volterra


O ataque dos leões limita a população das zebras e com isso evita a escassez de pastagens, que afetaria a população de zebras de modo ainda mais drástico:

Suponhamos que a função $x(t)$ dá a população de uma predador no tempo $t$ e que a função $y(t)$ dá a população de uma presa no tempo $t$.
Por exemplo,
Suponhamos que $x(t)$ mede a população de leões enquanto $y(t)$ mede a população de zebras.

Na ausência de zebras a população de leões $x(t)$ cai, enquanto que, na ausência de leões, a população de zebras aumenta.
Modelaremos esses dois fatos como ($ a, c >0$)
\[\frac{d x }{dt} = - a\cdot x(t)\quad \mbox{e}\quad \frac{d y }{dt} = c\cdot y(t)\]

Mas, quando há leões e zebras no mesmo sistema, a população de zebras cai e a de leões aumenta, segundo ($b, d > 0$)
\[\frac{d x }{dt} = b\cdot x(t) \cdot y(t) \quad \mbox{e}\quad \frac{d y }{dt} = - d \cdot x(t) \cdot y(t)\]

Em suma:
Afirmação (Um Modelo de Lotka-Volterra): A interação entre as duas espécies pode ser modelada pelo campo vetorial:\[\begin{cases} \frac{d x }{dt} = - a\cdot x + b\cdot x \cdot y \\ \frac{d y }{dt} = c\cdot y - d \cdot x \cdot y \end{cases}\]onde $x=x(t)$, $y=y(t)$ e $a,b,c,d >0$ são constantes positivas.


Esse tipo de campo vetorial pode ser visualizado na Interação a seguir:

Nesta Seção veremos que as trajetórias desse campo são curvas fechadas (periódicas) e abordaremos o significado Ecológico disso.