Campos Vetoriais Espaciais e suas trajetórias

Campos vetoriais lineares no espaço



Um campo vetorial no espaço consiste em associar a cada ponto $P$ do espaço um vetor ${\bf v}_P$:
\[ P \mapsto {\bf v}_P\]

Esse vetor ${\bf v}_P$ pode ser pensado como tendo origem no ponto $P =( x, y, z)$ e pode representar a velocidade instantânea daquele ponto:
\[(x^{\prime} \, , \, y^{\prime} \,, z^{\prime} \, )\]
Definição: Um campo vetorial espacial é chamado de linear se for dado como \[{\scriptsize (x^{\prime} \, , \, y^{\prime} \,, z^{\prime} \, ) = ( a_1\, x + a_2\, y + a_3 \,z + a_4 \, , \, b_1\, x + b_2\, y + b_3\, z + b_4 \,,\, c_1 x + c_2 y + c_3 z + c_4 ),}\]onde \[{\small x= x(t),\quad x^{\prime} = x^{\prime}(t), \quad y=y(t), \quad y^{\prime} = y^{\prime}(t),}\]\[{\small z=z(t), \quad z^{\prime} = z^{\prime}(t),\quad a_i,b_i,c_i \in \mathbb{R}}\]

Na maioria das aplicações e exercícios os coeficientes dos campos vetoriais lineares são números Racionais ($a_i, b_i, c_i\in \mathbb{Q}$ ).
A Interação a seguir exibe um exemplo de campo vetorial linear do espaço:


Os campos vetoriais lineares têm aplicação restrita na modelagem de fenômenos físicos, em comparação com os campos vetoriais não-lineares. Por exemplo, os campos não-lineares modelam realisticamente áreas como Meteorologia e Aerodinâmica.

A Interação a seguir ilustra um campo vetorial não-linear do espaço:

Mas, em geral, não sabemos descrever exatamente as trajetórias dos campos não-lineares.

Veremos nesta Seção que é sim é possível descrever as trajetórias de qualquer campo linear espacial.
Interações exibirão os campos vetoriais, trajetórias especiais, além de dar informação algébrica como autovalores e autovetores de matrizes $3 x 3$ associadas aos campos.