Sobre os métodos para abordar Campos Vetoriais

Campos vetoriais não-lineares e o problema de linearização


Os campos vetoriais são modelos matemáticos muito importantes para todas as áreas da ciência, principalmente a Física-Matemática, onde aparcem como campos de força ou de velocidades.
Em geral os campos mais importantes são os campos não-lineares.
Infelizmente, na maioria dos casos não é possível determinar suas trajetórias exatamente, explicitamente.
Daí a importância dos métodos de aproximação numérica das trajetórias, desde que combinados com a chamada Teoria Qualitativa de equações diferenciais.

Exemplos. Sabendo que uma trajetória é fechada (informação qualitativa), usar aproximações numéricas para descrevê-la. Ou, sabendo que outra trajetória tende à trajetória fechada, usar aproximações numéricas para ver essa aproximação.
O uso sem cautela de métodos numéricos de aproximação pode dar falsos resultados (devido a acúmulo de erros de truncamento, etc)

Começamos lembrando a noção de campo vetorial plano:
Definição: Um campo vetorial do plano ${\bf F}(x,y) = ( f(x,y) , g(x,y) ) $ é uma regra que a cada ponto $(x,y)$ de uma região do plano associa um vetor com origem em $(0,0)$ e término $ ( f(x,y) , g(x,y) )$.

Costuma-se transladar o vetor dado pelo campo, representando-o com início no ponto $(x,y)$ e término em \[(x + f(x,y) , y + g(x,y))\]
A Interação a seguir faz essa translação e por isso preenche a região com vetores:

O exempo default acima é linear. Quando alguma função coordenada $f,g$ do campo \[{\bf F}(x,y)= (f(x,y), g(x,y) )\] não for uma função linear de $x,y$, diremos que o campo é do tipo não-linear.

Um exemplo importante de campo não-linear, polinomial de grau $2$, é o campo de Lotka-Volterra, estudado na Seção Interação predador-presa e campo de Lotka-Volterra e mostrado na Interação a seguir:

Mas também são muito estudados os campos vetoriais onde as coordenadas $f,g$ do campo são funções transcendentes (não-polinomiais). Por exemplo, o campo de velocidades
\[{\bf F}(x,y) = (y , - \sin(x) )\]
é usado na Seção Equações diferenciais linear e não linear do pêndulo sem atrito e funções de Jacobi do Curso Complementos às Equações Diferenciais.
Na Interação a seguir vemos esse campo: