A segunda Lei de Fick como Equação Diferencial Parcial

Equação de Difusão e segunda Lei de Fick



Seja $u(x,t)$ a concentração de uma substância, que depende da posição $x$ (pensada como unidimensional) e do tempo $t$.
Afirmação (Segunda Lei de Fick): A difusão da substância em um meio homogêneo se expressa pela equação diferencial parcial:\[ \frac{\partial u(x,t) }{\partial t } = k^2 \cdot \frac{ \partial^2 u(x,t)}{\partial x^2 } ,\]onde $k^2$ é chamada de constante de difusão (supondo constante a temperatura do meio).

Chamamos de Problema de Difusão a questão da evolução no tempo das concentrações de substâncias químicas segundo essa Lei.
Note que a forma da equação diferencial é a mesma da equação diferencial da difusão do calor, tratada na Seção Equação da Difusão do Calor e Problemas de Esfriamento do Curso de Equações Diferenciais.

Naquela Seção resolvemos a equação pelo método de separação de variáveis e obtivemos a solução na forma de série infinita.
O objetivo desta Seção é obter soluções de Problemas de Difusão Química em forma fechada.


Interações implementarão em animações as soluções de Problemas de Difusão, mostrando como as concentrações evoluem no tempo.

Exatamente o mesmo resultado matemático que obteremos nesta Seção será usado em um problema físico diferente na Seção Introdução à Dinâmica de Fluidos reais (com viscosidade) do Curso Cálculo Vetorial Integral e Aplicações.