Uma equação diferencial implícita e suas soluções

Equações diferenciais implícitas de Clairaut


Uma equação diferencial está na chamada forma normal se for do tipo
\[y^{\prime}(x) = F(x,y),\]

ou seja, se a derivada estiver explicitada (do lado esquerdo da equação).
Nessa situação, a cada ponto $(x_0,y_0)$ do plano (ou de uma região do plano) fica associada uma direção dada pela equação \[y^{\prime}= F(x_0,y_0)\]
(pois derivadas medem inclinações).
Forma-se assim um campo de direções no plano ou numa região do plano, como vimos na Seção Campos de Direções, Soluções exatas de Equações Diferenciais e Curvas Isóclinas do Curso de Equações Diferenciais.
Considere agora a equação diferencial implícita
\[ (y^{\prime})^2 - 4 x \cdot y^{\prime} + 4 y = 0,\]

ou seja, na qual $y^{\prime}(x)$ figura apenas implicitamente.
Esta equação diferencial definirá , para a maioria dos pontos, duas direções distintas.

É de se esperar que por pontos de alguma região do plano passem dois gráficos (locais) $y_{1}(x) $ e $y_2(x)$ que representam soluções.

Afirmamos que, para esse Exemplo inicial, as soluções são dadas pela família de retas:
\[y = - C^2 + 2 C x, \quad C \in \mathbb{R}\]
A Interação a seguir apresenta essa família de retas:

No parágrafo seguinte vamos obter essas soluções conceitualmente (e através de Interações).

A resolução conceitual desse exemplo dará uma boa idéia do método geral para resolver uma classe de equações chamada de Equações de Clairaut.