O pêndulo simples e sem atrito

Equações diferenciais linear e não linear do pêndulo sem atrito e funções de Jacobi



A Interação a seguir mostra um pêndulo simples (ou seja, que tem uma haste apenas, rígida) que no instante inicial forma um ângulo $\theta$ com a vertical:

Imagine que largamos esse pêndulo. Quando supomos que seu movimento se dará sem atrito, estamos fazendo uma enorme idealização do movimento real.
O que vamos mostrar nesta Seção é que, mesmo nessa situação idealizada, o movimento é modelado por uma equação diferencial não-linear. Chamaremos esse modelo de pêndulo não-linear.

Para movimentos de pequena amplitude a equação não-linear de segunda ordem pode ser substituída por uma equação linear. Esse modelo será chamado de pêndulo linear.

Primeiro vamos modelar o movimento do pêndulo em equações diferenciais e resolvê-las (via funções senoidais tradicionais ou via senos de Jacobi).
Depois teremos uma Interação que produz animações do movimento do pêndulo largado.
Ao final da Seção fazemos um estudo qualitativo de todas as possibilidades de movimento do pêndulo, a partir de qualquer posição e com qualquer velocidade inicial.
Pode ser útil observar que o deslizamento sem a rito ao longo de gráficos também envolve equações diferenciais não-lineares e integrais não-elementares. É tratado na Seção Deslizamento ao longo de gráficos (tobogãs) do Curso de Cálculo Vetorial Integral e Aplicações.