Um tipo muito especial de equação linear de segunda ordem

Equações diferencias lineares de segunda ordem exatas


Em geral o termo "exata" é usado para equações diferenciais de primeira ordem, lineares ou não-lineares, cf. Seção Equações de primeira ordem exatas e critério de Euler do Curso de Equações Diferenciais.
Mas nesta Seção explicaremos o uso do termo "exata" para equações diferenciais lineares de segunda ordem:
Definição: Uma equação diferencial linear de segunda ordem \[P(x) \cdot y^{\prime\prime} + Q(x)\cdot y^{\prime} + R(x) y = 0\] é chamada de Exata se existe uma função $h(x)$ que torne possível re-escrever a equação como \[ [P(x)\cdot y^{\prime}]^{\prime} + [h(x)\cdot y]^{\prime} = 0 \]

Exemplo 1: É do tipo Exata a equação diferencial \[ y^{\prime\prime} + \frac{y^{\prime}}{x} - \frac{y}{x^2} = 0 \]


Exemplo 2: É do tipo Exata a equação diferencial \[y^{\prime\prime} + \sin(x) \, y^{\prime} + \cos(x) \, y = 0\]


É importante alertar que, em geral, as equações diferenciais lineares de segunda ordem não são dio tipo Exatas.

Em geral exigem outros métodos de resolução, como os da Seção Pontos regulares de equações diferenciais e soluções por séries de potências e da Seção Pontos singulares de equações diferenciais e soluções por séries de Frobenius do Curso de Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries.