Outro modo de resolver a Equação da Onda unidimensional

Fórmula de D'Alembert para a vibração da corda infinita


Consideramos uma corda de densidade $\rho$ (constante) submetida a uma tensão $T$ (constante) pensada como tendo comprimento infinito, disposta ao longo do eixo dos $x$.
Supomos que os pontos da corda se deslocam apenas na direção vertical e que a amplitude desse deslocamento seja pequena.
Postulamos que o deslocamento vertical $y(x,t)$ da corda satisfaça a equação diferencial parcial:\[{\small \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial t^2 } = k^2\cdot \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial x^2 },}\]
onde $ k^2 = \frac{T}{\rho} > 0$ (tensão/densidade).

(como na Seção Equação da onda e vibração de cordas (sem atrito e sem peso) do Curso de Equações Diferenciais).
Condições iniciais de posição e velocidade produzem o que chamamos de:
Problema de Cauchy: Determinar a função deslocamento vertical $y(x,t)$ de uma corda infinita que satisfaz:\[\begin{cases} \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial t^2 } = k^2\cdot \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial x^2 }\\y(x,0) = f(x) \quad \mbox{e}\quad \frac{ \partial y(x,0)}{ \partial t} = g(x)\end{cases}\]para \[ -\infty < x < +\infty\quad \mbox{e}\quad t >0\]

Nesta Seção vamos resolver esse Problema de Cauchy de modo completamente diferente do que fizemos na Seção Equação da onda e vibração de cordas (sem atrito e sem peso) do Curso de Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries.
Naquela Seção obtivemos a solução como uma série infinita. Agora:
Nesta Seção faremos uma mudança de variáveis na equação da onda e exploraremos a nova forma da equação diferencial. Surpreendentemente, o movimento da corda dado por $y(x,t)$ será expresso como superposição de duas ondas que viajam em direções opostas. Interações mostrarão essas ondas em cada instante.

Retomaremos este problema de vibração de corda infinita - com um terceiro método diferente - na Seção Transformadas de Fourier e Fórmula de D'Alembert para vibrações do Curso Introdução à Análise de Fourier.