Uma unificação de diversas funções

Equação diferencial e funções hipergeométricas de Gauss



Na Ciência, toda tentativa de unificação de diferentes conceitos particulares em um conceito mais geral é valiosa. Principalmente em Matemática, cujo desenvolvimento histórico se deu em diferentes países, ao longo de milênios, com diferentes pontos de vista, linguagens e notações.

A Fórmula de Euler \[e^{\pi \, i} = -1,\quad i = \sqrt{-1}\]é um exemplo de unificação, pois nela figuram a função exponencial do Cálculo, o número $\pi$ da Geometria, o $-1$ da Aritmética e o imaginário $i = \sqrt{-1}$ da Álgebra.

Outro exemplo notável é a função Gama de Euler $\Gamma(x)$, estudada na Seção A função especial chamada Função Gama de Euler do Curso de Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries.
A definição inicial da função $\Gamma(x)$ é feita através de uma Integral Imprópria, mas essa função tem valores do tipo \[\Gamma (n+1) = n !,\quad n \in \mathbb{N}\quad \mbox{e}\quad \quad \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi},\]
ou seja, a Função Gama unifica Cálculo, Aritmética e Geometria.

Nessa direção de unificação, apresentaremos nesta Seção uma classe de equações diferenciais lineares de segunda ordem cujas soluções englobam:
1) a maior parte das funções fundamentais do Cálculo,
2) funções dadas por integrais indefinidas não-elementares e
3) funções que são soluções de equações diferenciais importantes.

A equação e suas as soluções (associadas a Gauss) são chamadas de hipergeométricas, porque uma das classes de funções englobadas são as séries geométricas infinitas.