Quando as isóclinas são retas ?

Equações diferenciais de Lagrange e isóclinas retas


Suponha que temos uma equação diferencial de primeira ordem da forma
\[y^{\prime} = P(x,y)\]

Lembramos um conceito da Seção Campos de Direções, Soluções exatas de Equações Diferenciais e Curvas Isóclinas do Curso de Equações Diferenciais:
Definição: Chamamos de curvas isóclinas (iso = mesmas) as curvas do plano $(x,y)$ dadas em forma implícita
\[P(x,y) = C, \quad C\in \mathbb{R},\] que surgem ao fixarmos as direções \[y^{\prime} = C\]

A peculiaridade do Exemplo \[y^{\prime} = \frac{y}{2 x} - \frac{5}{x},\quad x \neq 0 \]
é todas suas curvas isóclinas são retas.

Essas isóclinas estão mostradas na Interação a seguir

J.L. Lagrange considerou o seguinte problema:
Problema: Resolver as equações diferencias de primeira ordem cujas curvas isóclinas são todas retas.

Faremos a seguir uma reformulação desse Problema, que nos permitirá resolvê-lo.