Uma questão motivada pela resolução da equação de Cauchy-Euler

Equações Diferenciais Lineares de Segunda ordem redutíveis a Coeficientes constantes


Na Seção Equação diferencial de Cauchy-Euler do Curso de Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries, tivemos sucesso em transformar uma equação diferencial a coeficientes variáveis em uma equação a coeficientes constantes:

\[{\small \frac{d^2y }{ dx^2 } + \frac{a}{x} \cdot \frac{dy }{ dx } + \frac{b}{x^2} \cdot y(x) = 0 \quad \mapsto \quad \frac{d^2 y }{ dt^2 } + p \cdot \frac{d y }{ dt } + q \cdot y(t) = 0 } \]
onde $a,b,p,q \in \mathbb{R}$

Esta Seção tem por objetivo mostrar que esse milagre só acontece para equações diferenciais muito específicas.
Justificaremos a seguinte:
Afirmação: A equação diferencial \[\frac{d^2 y }{ d x^2 } + P(x) \cdot \frac{d y }{ d x } + Q(x)\cdot y(x) = 0,\quad Q(x) > 0\]pode ser transformada em uma equação a coeficientes constantes exatamente quando
\[{\small \frac{Q^{\prime}(x) + 2 P(x) \cdot Q(x) }{ 2\cdot Q(x)^{\frac{3}{2} }} \equiv C\in \mathbb{R}}\]


Além disso, a justificação dessa afirmação mostrará qual é a mudança de variável independente a ser feita e qual a nova equação a coeficientes constantes que será obtida.

Mas, para equações a coeficientes variáveis mais gerais, precisaremos de métodos como os dados nas Seções Pontos regulares de equações diferenciais e soluções por séries de potências e Pontos singulares de equações diferenciais e soluções por séries de Frobenius do Curso de Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries.