Modelagem do movimento da membrana de um tambor circular

Equação da onda bidimensional e modos gerais de vibração de tambores circulares


Estudamos a vibração sem atrito de membranas circulares na Seção Equação da onda bidimensional e modos de vibração com simetria radial para tambores circulares do Curso Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries.
Mas naquela Seção fizemos uma suposição simplificadora: que o movimento tivesse simetria radial.

Agora queremos retirar essa restrição, para descrever movimentos gerais das membranas circulares.


Suporemos que temos um tambor com membrana circular de raio $a >0$, feita de um material elástico e homogêneo (de densidade constante). Mudando a unidade de medida, podemos supôr que o raio vale
\[a=1\]
Para simplificar o problema vamos supôr que o deslocamento de cada ponto $(x,y)$ da membrana no instante $t$ seja apenas vertical, dado pela função \[z= z(x,y,t)\] Como o bordo circular da membrana está fixo na estrutura do tambor, temos a condição \[z(x,y,t) \equiv 0\quad\mbox{se}\quad x^2 + y^2 = 1\]
A Afirmação a seguir é nosso ponto de partida:
Afirmação (Equação da Onda): Se $\rho$ é a densidade (constante) da membrana e $T$ é a tensão aplicada à membrana, o movimento da membrana sem atrito é modelado pela equação diferencial parcial \[\frac{\partial^2 z }{\partial t^2 } = k^2 \cdot ( \frac{\partial^2 z }{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 z }{\partial y^2 }),\quad \mbox{para}\quad k^2 = \frac{T}{\rho}\]

Obteremos soluções dessa equação, com a condição de fronteira
\[ z(x,y,t) \equiv 0\quad\mbox{se}\quad x^2 + y^2 = 1,\]
na forma de séries que superpõem um infinitos modos básicos de vibrações. E analisaremos a formação de linhas fixas (nodos).


Na composição dos modos básicos (normais) de vibrações aparecerão as chamadas funções de Bessel $J_n$, introduzidas na Seção Equação diferencial e funções de Bessel do Curso Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries.
Interações permitirão visualizar os modos normais de vibrações de tambores, em cada instante.