Um problema fundamental em Astronomia

A equação de Kepler e sua solução por Séries de Fourier


Na Seção Newton e a dedução das órbitas planetárias provamos que as trajetórias dos corpos celestes atraídos pelo Sol têm formas cônicas (elipses, parábolas ou hipérboles).
A parametrização usual de uma elipse
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]

é do tipo
\[\gamma(u) = (a \cdot \cos(u) , b \cdot \sin(u) ), \quad u \in [0,2\pi],\]
Porém essa parametização não tem nenhuma utilidade para descrever a dinâmica do planeta atraído pela força gravitacional do Sol.

Isso fica claro na Interação a seguir, onde o vetor aceleração da parametrização usual aponta para o centro da elipse $(0,0)$ e não para o foco da elipse (onde se situal o Sol):

A questão que se coloca é:
Problema de Kepler: Parametrizar a trajetória elíptica do corpo celeste pelo tempo físico. Em outras palavras, determinar em cada instante do tempo $t$ a posição $P(t)$ do corpo celeste.

Para obter essa parametrização com sentido físico, precisaremos relacionar o ângulo
\[\theta(t),\]
formado no foco $F$ da elipse, pelo eixo $x>0$ e pelo vetor posição $F \, P(t)$, com um outro ângulo.

Esse outro ângulo\[\phi(t),\]
é formado em $O=(0,0)$, pelo eixo $x> 0$ e pelo vetor $O\, Q$, onde $Q$ é projeção vertical de $P$ no círculo circunscrito à elipse.

A Interação a seguir permite comparar os ângulos $\theta$ e $\phi$.

Nos próximos parágrafos veremos que:
O ângulo $\phi(t)$ satisfaz uma equação não-algébrica. E ainda que $\phi(t)$ pode ser expresso como uma série infinita de Fourier, cujos se expressam em termos de das funções de Bessel $J_n(x)$.

Bessel era Astrônomo e fez trabalhos observacionais sobre Saturno, mas seus trabalhos matemáticos são também muito importantes.
A Seção culmina com uma Interação que faz animações das órbitas planetárias, usando para isso aproximações da função $\phi(t)$.