Adaptação do Método de ordem dois para ordem superior

Método de Lagrange ou Variação de parâmetros para equações de ordem superior


Estudamos na Seção Método de Lagrange ou Variação de Parâmetros para equações de segunda ordem do Curso de Equações Diferenciais um método de resolução de equações diferencias não-homogêneas, que se expressa na seguinte:
Afirmação (Método de Lagrange para equações de segunda ordem): Suponha que são conhecidas duas soluções independentes $y_1$ e $y_2$ da equação diferencial homogênea \[y^{\prime\prime} + p(x) \cdot y^{\prime } + q(x) \cdot y = 0\]Então uma solução da equação não-homogênea\[ y^{\prime\prime} + p(x) \cdot y^{\prime} + q(x) \cdot y = r(x) \]é dada por\[{\scriptsize y_{\mathcal{P}}(x) = [ \int \frac{- y_2 \cdot r(x) }{ y_1 \cdot y_2^{\prime} - y_2 \cdot y_1^{\prime} } \, dx ] \cdot y_1(x) + [\int \frac{ y_ 1 \cdot r(x) }{ y_1 \cdot y_2' - y_2 \cdot y_1 ' } \, dx]\cdot y_2(x) } \]

Agora nesta Seção o foco está na adaptação das noções envolvidas para equações diferenciais não-homogêneas de ordem superior:
\[ y^{(n)} + p_{n-1}(x) \, y^{(n-1)} + \ldots + p_1(x) \, y^{\prime} + p_0(x)\, y = r(x),\quad n>2 \]

Assim como acontecia para equações de ordem dois, temos uma suposição:
suposição de base: O método supõe o conhecimento de $n$ soluções linearmente independentes \[y_1(x), \, y_2(x), \ldots , \, y_n(x) \] da equação homogênea associada\[ y^{(n)} + p_{n-1}(x) \, y^{(n-1)} + \ldots + p_1(x) \, y^{\prime} + p_0(x)\, y = 0 \]

(Na prática nem sempre saberemos quais são essas soluções da equação homogênea associada, mas aqui partimos dessa suposição).

Também a noção de determinante Wronskiano se generaliza:
Definição (Determinante Wronskiano $n \mbox{x} n$): Com as soluções $y_1,\ldots ,y_n$ definimos \[{\scriptsize W(y_1,y_2,\ldots ,y_n) := \left| \begin{array}{cccc} y_1(x) & y_2(x) & \ldots & y_n(x)\\ y_1^{\prime}(x) & y_2^{\prime}(x) & \ldots & y_n^{\prime}(x) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & \ldots & y_n^{(n-1)}(x) \end{array} \right|}\]

O Método de Lagrange visa a expressar uma solução particular $y_p(x)$ da equação não-homogênea na forma
\[{\small y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2 y_2(x) + \ldots + u_n(x) y_n(x)}\]
Para poder enunciar o resultado, precisamos de uma notação:
Notação: Denotaremos $W_i$ o determinante que se obtém do determinante Wronskiano substituindo a $i$-ésima coluna ($i=1,2,\ldots,n$) \[ \left[ \begin{array}{c} y_i(x) \\ y_i^{\prime}(x) \\ \ldots \\ y_i^{(n-1)}(x) \end{array} \right] \]pela coluna\[ \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \ldots \\ 1 \end{array} \right] \]

Com essas noções e notações, podemos afirmar:
Afirmação (Variação de Parâmetros para equações de ordem superior): Suponha conhecidas soluções independentes $y_1$, $y_2,\ldots$, $y_n(x)$ da equação diferencial homogênea de ordem $n$ \[y^{(n)} + p_{n-1}(x) \cdot y^{(n-1)} + \ldots + p_1(x) \cdot y^{\prime} + p_0(x) y = 0\]Então uma solução da equação não-homogênea\[ y^{(n)} + p_{n-1}(x) \, y^{(n-1)} + \ldots + p_1(x) \, y^{\prime} + p_0(x)\, y = r(x) \]é dada por
\[ \scriptsize{y_p = [ \int \frac{W_1\cdot r(x) }{ W} \, dx ] \cdot y_1(x) + [\int \frac{W_2\cdot r(x) }{ W} \, dx]\cdot y_2(x) + \ldots + [\int \frac{W_n\cdot r(x) }{ W} \, dx]\cdot y_n(x) } \]


Veremos a prova desse fato no parágrafo a seguir. Depois, Interações implementarão todo o Método.